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锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等边三角形……说到三角形，有很多不同的种类，但只有少数几个是“特别的”。这些特殊三角形的边和角是一致的和可预测的，可以用来解决几何或三角问题的捷径。30-60-90角的三角形——读作“306090”——恰好是一种非常特殊的三角形。

在这篇指南中，我们将带你了解什么是30-60-90三角形，为什么它是有效的，以及何时(以及如何)使用你的知识。所以让我们开始吧!

什么是30-60-90三角形?

30-60-90度三角形是一种特殊的直角三角形(直角三角形是任何包含90度角的三角形)，它的角总是30度、60度和90度。因为它是一个特殊的三角形，它的边长值彼此之间总是保持一致的关系。

30-60-90三角形的基本比例是:

30°角的对边:$x$

60°角对边:$x *√3$

90°角的对边:2倍

例如，30-60-90度三角形的边长可能为:

以此类推。

30°角对面的边总是最小的因为30度是最小的角。60°角的对边是中间长度因为60°角是这个三角形中最大的角。最后，90°角的对边永远是最大的边(斜边)因为90度是最大的角。

虽然它看起来与其他类型的直角三角形相似，但30-60-90三角形如此特殊的原因是，您只需要三条信息就可以找到其他的测量值。只要你知道两个角的值和一条边的长度(不管哪条边)，你就知道了你需要知道的关于三角形的一切。

例如，我们可以使用30-60-90三角形公式来填充下面三角形的所有剩余信息空白。

示例1

示例2

示例3

不需要求助魔法八球——这些规则总是有效的。

为什么有效:30-60-90三角形定理证明

但为什么这个特殊的三角关系会这样运作呢?我们怎么知道这些规则是合法的?让我们来看看30-60-90三角形定理是如何起作用的并证明为什么这些边长总是一致的。

首先，我们先不谈直角三角形，来看看等边三角形。

等边三角形是边和角都相等的三角形。因为三角形的内角之和总是180°且$180/3 = 60$，等边三角形总是有三个60°角。

现在让我们从三角形的最上面的角下降一个高度到底部。

我们现在创建了两个直角和两个相等的三角形。

我们怎么知道它们是相等的三角形?因为我们降低了一个高度等边三角形三角形，我们已经把底切成两半了。新的三角形还共享一个边长(高度)，它们每个都有相同的斜边长度。因为它们共有三个边长(SSS)，这意味着三角形是相等的。

注意:这两个三角形不仅根据边-边-边长度(SSS)原则相等，而且根据边-角-边测量(SAS)、角-角-边(AAS)和角-边-角(ASA)原则相等。基本上吗?它们绝对是一致的。

现在我们已经证明了两个新三角形的全等性，我们可以看到顶部的角必须都等于30°(因为每个三角形已经有90°和60°的角，它们的和必须是180°)。这意味着我们做了两个30-60-90的三角形。

因为我们知道我们把等边三角形的底切成两半，我们可以看到30°角的对边(最短的边)正好是斜边的一半。

我们称原始边长为$x$等分长度为$x/2$。

现在我们要做的就是找出这两个三角形共有的中间边长。要做到这一点，我们可以简单地使用勾股定理。

$a^2 + b^2 = c^2

$(x/2)²+ b²= x²$

$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$

$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$

$b^2 = {3x^2}/4$

$b ={√3x}/2$

那么我们就得到:$x/2， {x√3}/2,x$

现在让我们把每一小节都乘以2，这样更简单，避免所有分数。这样，我们就剩下:

$x$ $x√3$ $2x$

因此，我们可以看到，30-60-90度三角形总是有一致的边长$x$， $x√3$和$2x$(或$x/2$， ${√3x}/2$和$x$)。

幸运的是，我们可以证明30-60-90三角形规则是正确的，而不需要这些。

什么时候使用30-60-90三角形规则

了解30-60-90三角形规则将能够在大量不同的数学问题上节省你的时间和精力，即各种各样的几何和三角问题。

几何

正确理解30-60-90三角形可以让你解决几何问题，如果不知道这些比例规则是不可能解决的，或者至少要花相当多的时间和精力来解决“很长的路”。

有了特殊的三角形比率，您可以计算出缺失的三角形高度或腿长(而不必使用勾股定理)，通过使用缺失的高度或底长信息找到三角形的面积，并快速计算周长。

任何时候你需要回答问题的速度，记住像30-60-90规则这样的捷径就会派上用场。

三角函数

记住并理解30-60-90三角形的比例也会让你解决很多三角问题，而不需要计算器或需要近似的答案以十进制形式。

30-60-90三角形的每个角都有相当简单的正弦、余弦和切线(这些测量结果总是一致的)。

sin30°总是1/2美元。

cos60°总是1/2美元。

虽然其他的正弦、余弦和切线都相当简单，但这两个是最容易记住的，而且很可能在考试中出现。知道这些规则可以让你尽快找到这些三角函数的测量值。

记住30-60-90法则的小贴士

你知道这些30-60-90的比例规则很有用，但你如何把信息记在脑子里呢?记住30-60-90三角形的规则就是记住1:3:2的比值，知道最短的边长总是对最短的角(30°)，最长的边长总是对最大的角(90°)。

有些人是通过思考来记住这个比例的。”$\bi x$， $\bo 2 \bi x$， $\bi x \bo√\bo3$，因为“1,2,3”的连续通常很容易记住。使用这个技巧的一个注意事项是记住最长的边实际上是2倍，不$x$乘以$√3$。

另一种记住比例的方法是按照1:根3:2的顺序使用记忆文字游戏。例如，“杰基·米切尔三振了卢·格里格，‘也赢了露西’”，一，根三，二。(这是一个真正的棒球历史事实!)

如果你对这些记忆方法不感兴趣，你可以尝试一下自己的记忆方法，唱一首歌曲的比例，找到你自己的“1，根3，根2”短语，或者想出一首比例诗。你甚至可以记住30-60-90三角形是半个等边，如果你不喜欢记住它们，你可以从那里计算出它们的尺寸。

但是记住这些30-60-90的规则对你们来说是有意义的，记住这些比例在你们以后的几何和三角问题中是有用的。

死记硬背是你的朋友，不管你怎么做。

例30-60-90问题

现在我们已经了解了30-60-90三角形的方法和原因，让我们来做一些练习题。

几何

一名建筑工人将一架40英尺高的梯子斜靠在一栋建筑的一侧，与地面成30度角。地面是水平的，建筑的一侧与地面垂直。梯子能爬多高，到最近的脚?

在不知道30-60-90三角形的特殊规则的情况下，我们将不得不使用三角函数和计算器来找到这个问题的解决方案，因为我们只有三角形的一个边的测量值。因为我们知道这是a特殊的三角形，我们可以在几秒钟内找到答案。

如果建筑物和地面互相垂直，那一定意味着建筑物和地面成直角(90°)。梯子与地面成30°角也是已知的。因此，我们可以看到，剩下的角一定是60°，这使得这是一个30-60-90度三角形。

现在我们知道30-60-90角的斜边(最长的边)是40英尺，这意味着最短的边是这个长度的一半。(记住，最长的边总是最短边的2倍——2倍。)因为最短的边是30°角的对面，这个角是梯子离地面的角度，这意味着梯子的顶部距离地面20英尺。

最后的答案是20英尺。

三角函数

如果，在一个直角三角形中，sin Θ = $1/2$，最短的腿长是8。不是斜边的那条缺失的边的长度是多少?

因为你知道30-60-90规则，你可以解决这个问题，而不需要勾股定理或计算器。

已知这是一个直角三角形，根据直角三角形的特殊法则sin30°= $1/2$。因此，缺失的角一定是60度，所以这是一个30-60-90度三角形。

因为这是一个30-60-90度三角形，已知最短的边是8，斜边是16缺失的边是8 *√3美元，或8√3美元。

最后的答案是8√3。

除了

记起了30-60-90三角形的规则将帮助你通过各种数学问题的捷径．但是要记住，虽然知道这些规则是你随身携带的方便工具，但你仍然可以不用它们解决大多数问题。

记住$x$， $x√3$，$2x$和30-60-90的规则，用任何你觉得有意义的方法，如果可以的话，试着把它们弄清楚，但如果你的大脑在关键时刻出现空白，也不要惊慌。不管怎样，你都得到了这个。

如果你需要更多的练习，可以看看这个30-60-90三角形测试．考试快乐!