三角学是数学的一个分支，研究直角三角形及其边和角之间的关系。(单词“trig”与单词“triangle”相关，以帮助你记忆。)
ACT考试中一般会有4-6道关于三角函数的问题(ACT的官方指导方针称三角问题占考试的7%)。它们乍一看可能很复杂，但大多数都可以归结为几个简单的概念。
本文将全面指导您学习ACT考试所需的三角函数。我们将带你了解三角函数的含义，你需要知道的公式和理解，以及如何解决一些最困难的ACT三角问题。
什么是三角函数以及如何使用它?
三角学研究直角三角形的边和角之间的关系。直角三角形的边长与直角三角形的角长之比是一致的，无论三角形是大是小。
如果你知道直角三角形的一个边长和一个非90°角，你就可以确定三角形的其他边和角。如果你有一个直角三角形的两条边的长度，你就能求出所有内角的长度。
如果我们有两个边长，我们可以用勾股定理求出第三个边长。
所以12美元14 ^ ^ 2 + 2 = c ^ 2美元
c ^ 2 = 340美元
$ c =√或c = 2√85美元340美元
但如果我们只有一条边长和其中一个(非90度)角的长度呢?
即使我们只知道一条边的长度，我们仍然可以用三角法求出其他边的长度，因为我们有一个锐角的长度。
这里我们可以说$ sin34°=12/\斜边\$
因此$\斜边\ = 12/{sin 34°}$
如果你还不明白，也不要担心!随着指南的深入，我们将分解每个步骤。
(注意:要用两个边长来计算一个角的实际度数，你必须执行一个逆函数计算(也称为“弧”函数)。但是别担心——ACT考试不会真的让你这么做!在ACT的数学预习中，要知道考试只会要求你计算足够大的距离，例如，“$Cosinex=4/5$”。你永远不需要在ACT中求出x的实际角度。
我们得到这些度量的方法是通过了解三角形的某些边与它们对应的角的比值。它们被称为三角函数ACT考试中需要记住三个函数正弦，余弦和正切。理解这一点最简单的方法是通过记忆法全音阶、儿童和青少年卫生与发育司TOA，我们稍后会讨论这个问题
三角函数广泛应用于航海以及计算高度和距离。(以防你想知道在现实生活中是否需要用到三角函数。)
最常见的ACT三角函数问题
ACT考试中的三角函数问题分为几个不同的类别。我们提供了几个真实的ACT数学示例来演示每个概念。
#1:从一个给定的直角三角形图中求一个角的正弦、余弦或正切(或者更罕见的余割、正割或余切)。
2 .从应用题中求直角三角形的正弦、余弦或正切。
亚历克斯把梯子支在墙上。梯子与地面成23°角。如果梯子10英尺长，求梯子脚到墙的距离用什么表达式?
答:10美元tan23°美元
b . 10美元sin23°美元
c . 10美元cos23°美元
因为{10/23}美元
大肠罪{10/23}美元
#3:求给定sin, cos, tan角的正弦，余弦，正切(或者更罕见的，余割，正割，余切)和这个角的范围。
如果$tanΘ=3/4 \和180°<Θ<270°$，$sinΘ$是什么?
答:4/3美元
b . 4/3美元
c . 3/4美元
d . 3/5美元
e . -3/5美元
#4:求一个图的周期或振幅。
这个图的振幅是多少?
答:1
b . 2
c .π
d . 2π
e . 0
5 . sin定理或cos定理的问题。
对于这样的问题，他们会给你sin定理或cos定理的公式，所以你不必担心记住它们。然而，如果公式看起来或听起来像胡言乱语，那么它对你没有多大帮助。在阅读本指南的过程中，做我们提供的ACT数学练习题，并熟悉这些问题中使用的三角函数语言，它们将变得更容易解决。
我们将讨论如何解决这类问题，但这会让你们对考试中的ACT三角问题有个大概的了解。
全音阶、儿童和青少年卫生与发育司TOA
还记得这个著名的助记法吗?它会救你的命。让我们逐一分析一下。
全音阶(sin)
sin是一个函数，其中的sin(也称为“sin”)值可以通过三角形的对边和斜边之比来求出。
全音阶：年代在Θ=美元O三角形的对角/Hypotenuse的三角形
在这个三角形中，$sinΘ=b/c$因为角$Θ$的对边是b斜边是c．
儿童和青少年卫生与发育司(cos)
余弦是一个函数，其中角($Θ$)的余弦值(也称为“$cos$”)可以通过使用与角$Θ$(不是斜边)相邻的三角形的边与三角形斜边的比值求得。
儿童和青少年卫生与发育司：CosΘ=美元一个三角形的邻边/Hypotenuse的三角形
注意:邻边表示三角形的边与角/接触/有助于创建角$Θ$。
在这个三角形中，$cosΘ=a/c$因为角$Θ$的邻边是一个斜边是c．
TOA(切)
tan是一个函数，其中角的正切(也称为tan)值可以通过使用三角形对边和三角形邻边的比值(这不是斜边)求出。
TOA：T一个Θ=美元O三角形的对角/一个三角形的邻边。
在这个三角形中，$tanΘ=b/a$因为角$Θ$的对边是b邻边是一个．
现在你已经熟悉了你的记忆方法，你可以用多个步骤把问题组合起来。例如，一个稍微难一点的问题可能是这样的:
已知三角形的两条边的长度，但需要第三条边的长度来解题。
别忘了这是一个直角三角形，你可以用勾股定理求出第三条边的长度!
所以$ 2 ^ 2 + x ^ 2 + 5 ^ 2美元
$ x ^ 2 = 21美元
$ x =√21美元
现在你有了第三条边的长度，你可以找到$tanB$。
TanB =相反\ / \相邻美元
figueres TanB =√美元
所以答案是F, figueres√美元
哪些边是对边或邻边?
三角形的斜边总是不变的，但对边或邻边根据对焦角度的不同而变化。
例如，如果你想找出角$γ$的$sin$，你可以用$b/c$的比值;如果你想求出∠$ξ$的sin值，你可以用$a/c$的比值。
我如何使用这些比率?
在ACT考试中，你会得到两个边的长度，这意味着你的最终答案是这样的:
$Sin Θ = \对边/\斜边$
这里，用勾股定理求出第三条边的长度。
所以$ 10 ^ 2 + x ^ 2 = 12 ^ 2美元
$ x ^ 2 = 44美元
$ x =√44美元
现在$sin$ = $\对边/\斜边$，那么$sinM=√44/12$。
所以答案是K。
不需要在计算器上找到角M的度数(反正弦或反正弦)——这就是你需要做的。
你也可以得到角的值和比率分母的边长。当这种情况发生时，可以像处理代数方程一样处理这个方程对边乘以分母。
$sin Θ = \对边/\斜边$
斜边*罪Θ= $美元相反
因为题目问的是船到码头的长度这一边是相反52°角，你知道你需要sin或tan (cos用的是邻边和斜边，而不是对边)
你也得到了一个相邻长度，30英里，所以你要用棕褐色。(你可以看出这条边是邻边，因为90°角的对边是斜边，所以30英里一定是三角形的另一条腿)。
谭Θ=相反\ / \相邻美元
所以美元tan52°= x / 30美元
30美元tan52°= x美元
所以答案是F，船到码头的长度为30 tan 52°。
再来看看之前的应用题。
亚历克斯把梯子支在墙上。梯子与地面成23°角。如果梯子10英尺长，求梯子脚到墙的距离用什么表达式?
答:10美元tan23°美元
b . 10美元sin23°美元
c . 10美元cos23°美元
d . cos10/23美元
大肠sin10/23美元
首先，画出你的图片，更容易想象被问到的问题。
梯子和地面之间的距离是23°。我们还要计算三角形的邻边和斜边的长度。这意味着我们需要cos，因为$cosΘ=\对边/\斜边$
因此$cos23°=\毗邻/10$(为什么是10?梯子有10英尺长。
这变成10 $cos23°=\毗邻$
所以答案是C美元,10美元cos23°
我必须找到一个角度的度量吗?
简短的回答是:不，你不会被要求用三角函数求出角的精确度数。更长的答案是:不，你不会被要求求角度的度数，但重要的是要知道已经完成了．
为了得到theta的实际度数(Θ)，您必须执行一个逆函数(也称为“弧”)。这将把你的方程从，例如:
罪Θ= x / y美元
$Θ=罪^{−1}(x / y)美元
虽然你永远不会被要求找到角的$arctan$， $arcsin$，或$arccos$为了求出实际的角度测量度，理解这些方程是如何被操纵的是很重要的才能得到正确的ACT答案。
因为我们知道$tan^{−1}(a/b)$是arctan，我们知道这意味着我们可以把它改写为$tanΘ=a/b$
我们还知道$tanΘ=\opposite/\ neighbour $
这意味着，对于角$Θ$，一个是相反的b是相邻的。
我们还知道$cosΘ=\邻边/\斜边$
因为我们已经发现了b它的邻边是这个意思吗答案是D, $ b /{√(a ^ 2 + ^ 2)} $
什么时候Sin, Cos和Tan是正的还是负的?
根据三角形在二维空间中的位置，sin、cos和tan的值将是负的或正的。
二维空间有四个象限它们沿着x轴和y轴被分割。
- 在象限I中，x和y都是正的。
- 在象限II中，x为负，y为正
- 在象限III中，x和y都是负的
- 在象限IV中，x为正y为负
就像x和y的值一样，sin cos和tan是正的还是负的，取决于三角形/角所在的象限。
- 在象限I，都是正的
- 在象限II中，sin是正的，cos和tan都是负的
- 在象限II中，tan是正的sin和cos都是负的
- 在象限IV中，cos是正的sin和tan都是负的
记住它的一个好方法是使用缩略词ASTC -一个噢年代学生TakeC看哪个函数是正的，取决于象限。
所以一个l在象限I是正的，年代in在象限II中是正的，Tan在象限III是正的，并且Cos在象限IV中是正的
如果$tanΘ=3/4$和$180°<Θ<270°$，$sinΘ$是什么?
答:4/3美元
−4/3美元
c . 3/4美元
d . 3/5美元
e . -3/5美元
要解决这个问题，首先要用勾股定理(或者用你对3-4-5三角形的知识)算出三角形的边长。
$Tan Θ = \opposite/\毗邻$，所以我们知道3是对边，4是邻边。这使得斜边是未知的。
$ 3 ^ 2 + 4 ^ 2 = c ^ 2美元
$ c ^ 2 = 25美元
c = 5美元
斜边是5。
我们知道$sin Θ = \对边/\斜边$。所以罪Θ= 3/5美元。
但是等等!我们还没有做完。因为题目告诉我们$Θ$位于$180°$和$270°$之间，我们知道$Θ$的sin值是负的。根据ASTC，只有角$Θ$的tan在$180°$和$270°$之间是正的。
所以最终答案是E, -3/5美元
二次三角函数
在ACT考试中，很少会要求你们给出一个辅助三角函数。它们是csc, sec和cotan。每次考试最多一个问题就会出现这些问题。
你可能会注意到，它们听起来类似于你上面学过的主要三角函数。事实上，这些次要函数是sin、cos和tan的倒数(反转)。
为了帮助你记住哪个是哪个，请看每个单词的第三个字母:
- 有限公司年代的倒数年代快乐
- Sec的倒数cosine
- 有限公司tAngent =的倒数t各地
csc
csc是sin的倒数。$Cosecant Θ = \斜边/\对边$
sec
sec是cos的倒数。$Secant Θ = \斜边/\邻边$
余切
cotan是tan的倒数。$ cotan Θ = \邻/\对$
Sin Cos Tan的实用公式
ACT考试中偶尔会出现两个公式。如果你觉得你不可能记住更多的三角函数，不要担心记住这些-每次考试最多只会出现一个问题．
但是如果你想把每一点都记下来，那么这些对你的记忆是很有用的。
美元罪^ 2{Θ}+ cos ^ 2{Θ}= 1美元
每当看到$sin^2{Θ}+cos^2{Θ}$时，立即将其替换为1。这通常会使问题更简单，因此更容易解决。
你也可以像处理其他代数方程一样处理这个方程。
所以因为美元^ 2{Θ}= 1-sin ^ 2{Θ}$和$ ^ 2{Θ}=罪1-cos ^ 2{Θ}$
已知$x$在0到$π/2$弧度之间，因此我们知道sin和cos都是正的(因为它在象限I)
我们也知道美元罪^ 2{Θ}+ cos ^ 2{Θ}= 1这意味着美元罪^ 2{Θ}= 1-cos ^ 2{Θ}$。
所以如果我们对第一个分数平方(去掉根号)，我们得到:
$({√{1-cos ^ 2 {x}}} / {sinx}) ^ 2美元
$ (1-cos ^ 2 {x}) /美元(罪^ 2 {x})
因为$1−cos^2{Θ}$等于$sin^2{Θ}$，我们可以用$sin^2{x}$替换$1−cos^2{x}$
得到$(sin^2{x})/(sin^2{x})$，等于1。
我们可以对第二个分数做同样的处理
$({√{1-sin ^ 2 {x}}} / {cosx}) ^ 2美元
$ (1-sin ^ 2 {x}) /美元(因为^ 2 {x})
$(cos^2{x})/(cos^2{x})$，也等于1。
那么我们有1 + 1 = 2
最终答案是H2。
$ $(罪Θ)/(因为Θ)= tanΘ$ $
如果你用图表来考虑的话，这个方程在逻辑上是有意义的。假设有一个这样的三角形
$Sin Θ$将是$5/13美元。因为Θ$是12/13美元。$Tan Θ$将是$5/12%。
你也可以说$tanΘ={sinΘ}/{cosΘ}={5/14}/{12/13}=(5/13)(13/12)=65/156$(你也可以把两个13消掉，使它更简单)= $5/12$
图形三角函数
ACT考试不会要求你画出三角函数的图形，但你需要知道每个函数的图形是什么样子的。
正弦
正弦曲线以波的形式穿过原点。它总是在x = 0美元之后上升，在它穿过原点之后。
它是一个“奇”函数，因为它不是关于y轴对称的。
余弦
余弦图是类似的“波状”，但它不越过原点。它在$x = 0$之后下降。
它可能会帮助你记住余弦在x = 0后下降通过思考"有限公司是低＂
余弦是偶函数，因为它是关于y轴对称的。这意味着对于$x$的所有值，$f(x) = f(-x)$。
例如，在上图中，当$x = 1$时，$y = 0.7$而且当$x = -1$
有时候所有的问题都是让你辨别一个图是偶数还是奇数或者一个图是sin还是cos。如果你能记住三角图的基本元素，这一点对你来说很容易理解。
虽然你可以从所给的信息中找出这个问题，但如果你能认出这个图是余弦图，因此它是偶的，那么你会花更少的时间。在ACT考试中，时间是有限而宝贵的。
切
tan图看起来和sin和cos图很不一样，你只需要在看到tan图的时候能认出它。
期和振幅
ACT考试有时会要求你找出正弦或余弦曲线的周期或振幅。
期
图的周期是沿着x轴的距离，该点图开始重复。求出x轴上点回到原点的距离完成一个完整的循环后．
正弦曲线的周期是2π。在最终回到$y = 0$之前，它需要上下波动。
余弦图的周期也是2π。它必须向下，然后向上，回到它开始的地方，y = 1美元。
振幅
一个图的振幅是它到x轴的高度，即它的最高y值和$x = 0之间的距离。
所以要使用上面的图表:
正弦和余弦的振幅都是1(同样，周期是2π)。
弧度
弧度是测量圆周围距离的另一种(更精确的)方法，而不是使用角度。弧度用π(以及π的分数)来表示，而不是度。
如果你有一个完整的圆，那就是360度。它也是2π弧度。
为什么是2π弧度?想想圆的周长公式。C = 2πr。如果半径是1，那么周长是2π，这和弧度是一样的。
半径为1且以原点为圆心的圆称为“单位圆”。把弧度放在一个单位圆上比较方便。
如果你有一个半圆，它是180°或π弧度。
等等。90°是$π/2$弧度，270°是$(3π)/2$弧度。
要将角度转换为弧度，最简单的方法是使用180°和π之间的转换．
将45°转换为弧度=> $(45){π/180}=π/4$弧度
转换(3π/ 4美元弧度度= > ${3π/ 4}(180 /π)美元= 135°
处理三角函数问题的步骤
让我们回顾一下如何分解三角问题
#1:确定问题是否需要三角学知识。当你知道这个问题需要三角函数时:
- 这个问题在问题或答案选项中提到了sin cos或tan
- 这个问题给你一个图表或描述一个直角三角形，然后要求你找到一个仅用勾股定理无法找到的值。
- 正如我们之前在这个问题中看到的，你可以使用勾股定理在一个三角函数问题，但你不能用只有用勾股定理。
- 该问题向您展示了沿x轴和y轴的“波浪”图
- 这个问题要求图形的周期或振幅
#2:记住SOH, CAH, TOA。
绝大多数ACT三角函数问题只需要你把值代入SOH, CAH, TOA的首字母缩略词中来求sin, cos, tan的值
#3:如果需要，知道如何操作SOH、CAH和TOA。
三角函数可以像任何代数表达式一样被操纵。
如果有$cos40°=x/18$，答案就是18$ cos40°=x$
如果你有$sin^{−1}(10/23)=Θ$，你也可以说$sinΘ=10/23$
如果你有美元(罪Θ)/(因为Θ)= tanΘ美元,它可以成为美元(罪Θ)= (tanΘ)(因为Θ)美元
如果你还记得$sin^2{Θ}+cos^2{Θ}=1，那么你可以说$1−cos^2{Θ}=sin^2{Θ}，等等。
# 4:。记住正弦，余弦和正切的图形是什么样的。
知道:
周期=水平距离
振幅=垂直距离
5 .庆祝一下，因为你已经完成了ACT三角题!
除了
虽然三角函数问题看起来很吓人，但如果你知道基本的三角函数构建模块，大多数ACT三角问题都可以解决。
为了充分利用你的ACT数学准备，记住这三个三角概念:SOH, CAH, TOA，如何处理你的方程，以及如何识别你的函数图。如果你能记住这些，你会发现自己解决了ACT考试中所有的三角题。
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考特尼高中时的SAT成绩排在第99百分位，后来从斯坦福大学毕业，获得了文化与社会人类学学位。她热衷于将教育和成功的工具带给来自不同背景和各行各业的学生，因为她相信开放教育是伟大的社会均等器之一。她有多年的家教经验，业余时间也会写一些有创意的作品。
