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如果$x$是一个正整数，使得${x + 1}/{2^x} = 3/16$，那么$x$的值是多少?

答:1
b . 2
c . 3
d . 4
e . 5

我们要求出一个变量，$x$。这个问题看起来很困难，用代数方法来尝试它很耗时，所以我们简单地用给出的答案作为潜在的$x$值把它们代回原方程来代替$x$。

我们先从选项A 1开始。

$ {x + 1} / {2 x ^} $

${1 + 1}/{2^1} = 2/2 = 1$

1≠3/16美元

答案A不正确，$x$不能等于1。

现在我们试着选B。

$ {x + 1} / {2 x ^} $

${2 + 1}/{2^2} = 3/4$

3/4≠3/16美元

答案B不正确，$x$不能等于2。

选择C的时间到了。

$ {x + 1} / {2 x ^} $

${3 + 1}/{2^3} = 4/8 = 1/2$

1/2≠3/16美元

答案C不正确，$x$不能等于3。

我们试着选D。

$ {x + 1} / {2 x ^} $

${4 + 1}/{2^4} = 5/16$

5/16≠3/16美元

答案D不正确，$x$不能等于4。

现在，如果我们已经正确地做了其他所有的计算，我们的答案默认是E，但让我们再次检查以确保。

$ {x + 1} / {2 x ^} $

${5 + 1}/{2^5} = 6/32 = 3/16$

3/16 = 3/16美元

这意味着最终答案是E5。

如果$x$和$y$是正整数，方程$3x+2y=11$的所有解$(x,y)$是什么?

(1、4)只有美元
b(3,1)只有美元
C. $(1,4)$和$(2,2)$
D. $(1,4)$和$(3,1)$
E. $(2,2)$和$(3,1)$

我们还是从选项C开始吧。

我们首先得到$(1,4)$分别对应$x$和$y$，我们把它们代入原方程。

$3x + 2y = 11$

$3(1) + 2(4) = 11$

$(1,4)$可以。这意味着我们可以排除答案选项B和E，因为它们都不包含$(1,4)$作为选项。

现在让我们尝试另一个选项C， $(2,2)$:

$3x + 2y = 11$

$3(2) + 2(2) = 10$

$(2,2)$不成立，所以我们可以排除选项C。到目前为止，我们已经排除了选项B、C和E。

现在我们只剩下两个选项——a和D。我们已经知道$(1,4)$是可行的，所以让我们从选项D中尝试$(3,1)$。

$3x + 2y = 11$

$3(3) + 2(1) = 11$

$(3,1)$满足我们的方程。

这意味着最终答案是D， $(1,4)$和$(3,1)$。

如果把13加到某个数的一半，结果是37。原来的数字是多少?

答:24
b . 40
c . 48
d . 61
e . 80

我们的任务是找到原始数字，所以每一个选项都是原始数字。

首先，我们原来的数字被分成两半。让我们再次从选项C开始。

48/2 = 24美元

接下来，我们加13。

$24 + 13 = $ 37

我们已经找到了正确的答案——没有必要再尝试其他选择了。

最终答案是C48岁。

$ 3 x + 2 y + 2 x = 19美元
3 x + y + z = 14美元

如果上面的方程是正确的，下面哪个是$y+z$的值?

答:5
b . 4
c . 0
d . 4
e . 5

PIA方法

我们的答案选项是替换$y + z$。我们还是从C开始。

我们在第二个方程中有$(y + z)$，我们把它替换到这里。

$3x + y + z = 14$

$3x + 0 = 14$

3 x = 14美元

现在，将$3x$的值代入第一个方程。(我们不需要找出$x$单独的值(4.67)，因为$3x$在上面的等式中重复出现。)

$3x + 2(y + z) = 19$

(为什么我们把$2y + 2z$重写为$2(y + z)$?因为我们可以把公约数2分配出去保持$y + z$不变)

$14 + 2(0) = 14$

14美元≠19美元

所以C是不对的。

我们可以从这个问题中推断$y + z$不会是负数。为什么?因为$3x$不变但当$y + z$翻倍时解更大。因此，$y + z$一定是正的，因为负的$y + z$意味着上面方程的解比下面方程的解小。

下面试试选项D。

$3x + y + z = 14$

$3x + 4 = 14$

3 x = 10美元

同样，我们不需要找到$x$(3.33)的单个值，因为$3x$在上面的方程中重复出现。

所以$3x + 2(y + z) = 19$

$10 + 2(4) = 18$

18美元≠19美元

所以D是不正确的。

现在让我们试试选项E。

$3x + y + z = 14$

$3x + 5 = 14$

3 x = 9美元

现在我们把$3x$的值代入上面的方程。

$3x+ 2(y + z) = 19$

$9 + 2(5) = 19$

19美元= 19美元

所以最终答案是E， $y + z = 5$

现在让我们看看如果我们用代数方法而不是PIA，这个问题会花多长时间。

代数方法

我们有两个方程:

$3x + 2y + 2z = 19$

$3x + y + z = 14$

通过使用减法，我们可以简单地从上面的方程减去下面的方程。

$[3x + 2y + 2z = 19] - [3x + y + z = 14]$

$3x - 3x = 0$，所以$x$消掉了。

$2y - y = y$，所以剩下$y$

$2z - z = z$，所以剩下$z$

$19 - 14 = 5$，所以最终解是5

这给我们留下了一个最终的解决方案:

$y + z = 5$

这又给了我们最终答案E， $y + z = 5$

对于这样的问题，你不去寻找答案是无法回答的。如果你试着用纯代数解它，你会得到:

$x + y + y + y = 180$

$x + 3y = 180$

但是现在什么?我们对问题本身没有更多的了解，所以我们必须寻找答案。

我们先来看已知的信息。

我们知道一条直线= 180°。我们也知道整数是整数。这意味着$180 - x = \a \number \可除\3$。(为什么3 ?因为有3个相等的$y$坐标轴)

我们用我们的答案，像往常一样从C开始。

180 - 40 = 140美元

140不能被3整除。我们必须寻找另一个答案。

因为这个问题不依赖于数字的增加或减少(我们所寻找的是能被3整除的余数)，我们不能排除除我们已经尝试过的选项之外的任何其他选项。

但是，我们可以通过先测试以0结尾的$x$值来简化操作。为什么?因为这更容易快速地减去180。如果不行，我们可以试着选B和E。

我们试着选D。

180 - 50 = 130美元

130不能被3整除。

我们试试A。

180 - 30 = 150美元

150/3 = 50美元

我们找到了一个能被3整除的解。我们可以停在这里。度数可以是:30、50、50、50。

所以最终答案是A, 30岁。

给定方程$x^2 - 2x - 8 = 0$，哪个选项是$x$的可能值?

答:8
b . 6
c . 0
d . 2
e . 4

你可以通过分解给出的二次方程来解决这个问题:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

$(x + 2)(x - 4) = 0$

但如果你不确定从这里往哪里走呢?如果你不知道要把每个因子都设为0来求$x$的最终解，选项D可能看起来非常诱人。

如果你认为你应该停在这里所以你认为你的答案应该是D，现在是时候通过把它代回原来的方程来检查它了。

$x^2 - 2x - 8 = 0$

$2^2 -2(2) - 8$

$4 - 4 -8 = -8$

啊哦!选项D不行。一定是出了什么问题。

如果你要继续用代数来解决这个问题，正确的解决方法是:

$(x + 2) = 0$

$ x = 2美元

但是，如果你不知道如何完成问题的最后一步(或者你只是考试太快了——这在标准化考试中非常常见)，而且你没有检查你的作业，那么很容易选择错误的答案。

现在让我们把第二个因数设为0:

$(x -4) = 0$

$ x = 4美元

所以$x$的两个值是-2和4，这意味着最终答案是E4。

如果你想确保你得到了正确的答案(因为粗心的错误很容易发生)，那么你可以把这个数字代回原始的方程中进行复查。

所以$x^2 - 2x - 8 = 0$

$4^2 -2(4) - 8$

$16 - 8 - 8 = 0$

4是正确的。你可以自信地继续做下一个问题。

现在，让我们用PIA来看看同样的问题。

为了节省我们的时间，让我们假设你已经尝试了其他的答案选项，现在把选择范围缩小到E。

我们试着选E。

$x^2 - 2x - 8 = 0$

$4^2 - 2(4) -8$

$16 - 8 - 8 = 0$

你已经找到了正确的答案，甚至不需要再次检查它是否正确。你已经绕过了把答案插回去检查你的作业的需要，因为这是你第一次找到答案的方法。

所以最终答案是E4。

1.

6 10 18 34 66

上面列表中的第一个数字是6。下列哪个选项给出了找到列表中每个连续数字的规则?

A.在前面的数字上加4。
B.取上一个数的1/2美元，然后在结果上加上7。
C.将前面的数字乘以2，然后减去2。
D.前面的数字减去2，然后乘以2。
E.取前面的数字，然后减去8。

2.

如果$n$和$k$是正整数，$8^n=2^k$， $n/k$的值是多少?

答:1/4美元
b . 1/3美元
c . 1/2美元
d . 3
e . 4

3.

$4/15$， $1/12$， $3/8$相加的最小公分母是多少?

答:40
b . 120
c . 180
d . 480
e . 1440

4.

平行四边形的周长是72英寸，边长是12英寸。其他三条边的长度是多少，单位是英寸?

答:12、12、36
B. 12、18、18
C. 12、24、24
D. 12、30、30
E.不能从所给的信息中确定

1.我们可以试着自己找到这个模式，但当我们有可以测试的答案选项时，为什么要麻烦呢?

让我们看看每个答案选项。在这种情况下，从C开始并不会给我们带来能够一次性划掉多个选项的优势，但让我们仍然从C开始，以帮助我们记住保持PIA策略的一致性。

选项C说:“前面的数字乘以2，然后减去2。”

我们来看看这是否适用于我们的列表。

6 10 18 34 66

$(6 * 2) - 2 = 10$

到目前为止还不错，但记住要测试的不仅仅是第一对数字。

$(10 * 2) - 2 = 18$

到目前为止一切都好!让我们尝试最后一对数字，以节省测试它们的时间，但仍然确认模式是否成立。

$(34 * 2) - 2 = 66$

成功!我们第一次试就找到了正确答案。我们可以停在这里。

最终答案是C。

(如果你不相信C是正确答案，那就试试其他选项吧!选项E是“前面的数乘以三，然后减去8。”这对于第一对数字是成立的，$(10 * 3)- 8 =18$，但它不能继续成立。$(18 * 3) - 8 = 46$这个模式被打破了，问题说它必须适用于整个列表。)

2.已知$8^n = 2^k$，必须找出$n/k$。您可以通过多种方式解决这个问题，但是让我们尝试使用PIA。

如果我们从选项C开始，我们会得到:

$n/k = 1/2$，因此$n = 1$， $k = 2$

现在把这些值代入原方程。

8美元^ n = 2 ^ k美元

8 ^ 1 = 8美元

2 ^ 2 = 4美元

$8≠4$，所以C不是正确答案。

但是现在我们知道我们需要一个更大的值给$k$。即使n小于1，$k$也要大于2。所以我们可以排除选项C, D和e(为什么?因为选项D和E都是整数，也就是说它们的分母都是1。这意味着$2^1 = 8^n$，这是不可能的。)

现在我们试一下答案B。

$n/k = 1/3$，因此$n = 1$， $k = 3$

现在把这些值代入原方程。

8美元^ n = 2 ^ k美元

8美元^ 1 = 2 ^ 3美元

8 ^ 1 = 8美元

2 ^ 3 = 8美元

8 = 8美元

这个等式是正确的。这意味着最终答案是B, 1/3美元

3.我们被要求找到至少这个问题的共同点。这是不寻常的，所以我们将不得不改变我们正常的PIA策略。因为我们需要找到最小的公倍数(不仅仅是任何公倍数)，我们将从最小的选项A开始。

我们要找的是15,12的公倍数，而且8.

40只能除8，所以A不可能是正确答案。

让我们试试B。

120/15 = 8美元

我们一次性确定了8和15都可以整除120，即$15 * 8 =120$

120/12 = 10美元

因为每个数字都能整除120，而且没有小于120的选项，这意味着B是正确的。

最终答案是B, 120年。

4.我们知道一个平行四边形有4条边，有2对相等的对边(如果你不熟悉这类几何问题或图形，请检查我们的平面几何指南）.

这意味着我们可以立即排除选项a，为什么?因为我们已经知道了12的一条边。答案A会给出一个平行四边形有三条等边和一条离群点，这不是一个真正的平行四边形。

我们还知道有一条已知的边和一个周长。这意味着我们可以排除选项E，因为我们有足够的信息来解决问题。

我们只剩选项B, C和D了。

我们从C开始。

已知的边长是12，所以把这条边加到选项C中。

$12 + 12 + 24 + 24 = 72$

喔,我们完成了!我们有两条平行的边，它们的周长之和是72。

所以最终答案是C12,24,24。