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(我们将在下一节讨论如何解决这个问题)

我们被告知，上面描述的数学关系适用于所有的数字$x, y和z$。这意味着我们可以为$x, y和z$选择我们想要的任何数字，因为任何数字和所有数字都必须有效。

我们有多个变量和一系列复杂的方程。让我们简化一下，给每个变量一个数字。假设:

$ x = 2美元

y = 3美元

z = 4美元

现在，我们根据已知的规则来解题看看方程是否相等。

第一个是:

$x⊕y = y⊕x$

我们先取方程的左半部分把变量换成数字。

x⊕y美元

2⊕3美元

根据我们的规则，这将是:

$2⊕3 = (2)(3)+ 2 + 3$

11美元

方程的左半部分是11。现在我们看看右半部分，看看它是否相等。

y⊕x美元

$3⊕2 = (2)(3)+ 3 + 2

11美元

两边都等于11，所以选项I是正确的。这意味着我们可以排除选项B和C。

现在我们试一下选项二的方程，用相同的数表示变量。

$(x - 1)⊕(x + 1) = (x⊕x) - 1美元

同样，我们先取方程的左边。

$(x -1)⊕(x + 1)$

$(2 - 1)⊕(2 + 1)$

1⊕3美元

$1⊕3 = (1)(3)+ 1 + 3$

7美元

所以方程的前半部分等于7。现在我们看看右半部分是否相等。

$(x⊕x) - 1$

$(2⊕2)- 1 = ((2)(2)+ 2 + 2)- 1$

7美元

两边都等于7，所以选项二是正确的。我们可以消去选项A。

最后，我们来检验最后一个方程。

$x⊕(y + z) = (x⊕y) + (x⊕z)$

看看方程的左边，我们有:

$2⊕(3 + 4)$

2⊕7美元

$2⊕7 = (2)(7)+ 2 + 7$

23美元

方程左边等于23。现在我们来测试一下是否正确。

$(x⊕y) + (x⊕z)$

$(2⊕3)= (2)(3)+ 2 + 3$

11美元

和

$2⊕4 = (2)(4)+ 2 + 4$

14美元

我们被告知将两者相加，得到:

$11 + 14 = 25$

方程的左半部分是23右半部分是25。这两个表达式不相等，所以选项III是不正确的。

这意味着最终答案是D， I和II是对$x, y和z$的所有值唯一正确的方程。

因为我们没有被告知这个问题适用于“所有的数字”，我们知道我们必须为一个变量选择我们自己的数字，然后解决其余的。

在这个问题中，我选择用我自己的数字替换$v$。为什么v美元?因为$v$出现在中间的方程中这对于寻找其他变量很有用。

我们还可以看到$v = 4t$，所以我们给$v$一个能被4整除的数。(注:我们不必使$v$能被4整除，但这使我们的工作更容易，因为这意味着我们将处理整数而不是小数。)

我们设$v = 8$。如果我们用数字8替换每一个$v$，我们的第一个方程是:

$ x = 3 v $

$ x = 3美元(8)

$ x = 24美元

现在我们知道，当$v = 8$时，$x = 24$。现在来看第二个方程:

t v = 4美元

8美元= 4元新台币

t = 2美元

因此，当$x = 24$和$v = 8$时，$t$将是2。

最后，让我们看看最后一个方程用我们新发现的$x$和$t$。

$ x = pt $

24美元= p(2)美元

p = 12美元

所以$p$等于12。

但是等等!也许你认为$p$只在这个例子中等于12如果我们为$v$选择一个不同的数字它会等于其他的东西。我们来测试一下。

假设$v = 20$而不是8。

$ x = 3 v $

$ x = 3美元(20)

$ x = 60美元

第二个方程是

t v = 4美元

20美元= 4元新台币

t = 5美元

最后，我们的最后一个方程

$ x = pt $

= p(5) $ 60美元

p = 12美元

如您所见，无论我们为其中一个变量选择什么值，只要保持变量之间的关系不变，$p$将始终等于12。

所以最终答案是12$p = 12$

假设对于这道题你随机选择95作为x$的两位数。如果:

$x = 95$，那么十位数$t = 9$，个位数$u = 5$。

我们被告知$y$是通过反转数字找到的数字，所以当$x = 95$时，$y = 59$。

最后，我们求$x -y$的值。使用我们的数字:

x - y = 95 - 59美元

$x - y = 36$

现在让我们用我们为变量找到的数字来测试我们的答案选项，看看哪一个匹配36。

f $9(t - u)$

9(9 - 5)美元

9(4)美元

36美元

回答F作品!(我们现在也可以消去选项K，因为$36≠0$)。

g $9(u - t)$

9(5 - 9)美元

9(4)美元

美元-36美元

答案G已被淘汰。

h $9t - u$

9(9) - 5美元

81 - 5美元

美元76美元

选项H已经消去了。

j $9u - t$

9(5) - 9美元

45 - 9美元

36美元

啊哦!我们发现F和J都是36。

而不是$x = 95$，我们假设$x = 43$(同样，这个数字完全是随机的，可以是您想要的任何数字)。

如果$x = 43$，那么$t = 4$， $u = 3$。这也意味着$y$，作为$x$的倒数，将是34。

x - y = 43 - 34美元

$x - y = 9$

现在我们要寻找匹配9的选项。我们再来测试一下F和J。

f $9(t - u)$

9(4 - 3)美元

9(1)美元

9美元

看起来很适合选f，但我们也来看看J。

j $9u - t$

9(3) - 4美元

27 - 4美元

23美元

成功!我们现在可以排除选项J，并且确信F(且只有F)是正确的，无论x$和y$的值是多少。

所以最终答案是F， $9(t - u)$

现在我们设$x = 0$， $y = 1$， $z = 2$。为了节省时间，前两个方程仍然是正确的，现在我们来看第三个方程。

$x⊕(y + z) = (x⊕y) + (x⊕z)$

首先，让我们看看方程的左半部分:

$x⊕(y + z)$

$0⊕(1 + 2)$

0⊕3美元

$0⊕3= (0)(3)+ 0 + 3$

3美元

现在让我们看看等式的右半部分:

$(x⊕y) + (x⊕z)$

(x⊕y)美元

$0⊕1 = (0)(1)+ 0 + 1$

$ 1 $

和

(x⊕z)美元

$0⊕2 = (0)(2)+ 0 + 2$

2美元

所以当我们把它们加在一起，我们得到:

$1 + 2 = 3$

这意味着方程两边相等，这意味着I, II，和III都是正确的。之前做这道题的时候我们已经证明了III是不正确的。(记住，答案选项必须有效每一次．）

如果我们用0和/或1来代替我们的变量，我们就会得出错误的问题．如果D正确，我们就选E。

爱丽丝收集贝壳已经很多年了。从2009年到2010年，她的收藏增加了30%。从2010年到2012年，她又增加了20%的收藏。但在2014年，她不得不搬走，并处理掉了50%的收藏。爱丽丝最初收集的贝壳有百分之多少最终被拿走了?

1. 75
2. 78
3. One hundred.
4. 150
5. 156

我们假设，为了得到一个漂亮的整数和一个适合用于百分比的整数，爱丽丝一开始有100层壳层。

如果她的收藏从2009年到2010年增加了30%，那么在2010年她将拥有100美元+ 100(0.3)= 130美元的贝壳。

如果从2010年到2012年，她的收藏再增加20%，那么在2012年，她将拥有130美元+ 130(0.2)= 156美元的贝壳。

现在，她必须去除50%(一半)的壳。

$156 - 156(0.5) = 78美元

所以她还剩下78枚炮弹。而且，因为我们用的是100作为她最初的金额，所以我们不需要去寻找百分比。我们可以简单地看到，她留下了78%的原始收藏。

所以最终答案是B, 78年。

$(4z + 3)(z - 2)$

$(4z *z) + (4z * -2) + (3 *z) + (3 * -2)$

$4z^2 - 8z + 3z - 6

$4z^2 - 5z - 6$

所以你的答案是J．

另一方面，看看使用PIN的过程有多慢:

假设$z$的值是4。

$(4z + 3)(z - 2)$

$(4(4) + 3)(4 - 2)$

(19)(2)美元

38美元

我们要找一个与38匹配的选项。

f $4z^2 - 5$

4(4 ^ 2) - 5美元

64 - 5美元

59美元

选项F太大了，我们可以去掉它。我们也可以去掉选项G，因为我们可以看到它是58，还是太大了。

h $4z^2 - 3z - 5$

$4(4^2) - 3(4) - 5$

64 - 12 - 5美元

47美元

我们可以去掉H选项，因为它还是太大了。

j $4z^2 - 5z - 6$

$4(4^2) - 5(4) - 6

64 - 20 - 6美元

38美元

我们已经找到了与原方程相匹配的答案。这可能是正确答案，但我们看看选项K，确保没有重复的正确答案。

乍一看，我们就知道选项K ($4z^2 + 5z - 6$)太大了，因为我们会添加20 - 64。这意味着我们可以轻松地消除它。

所以最后的答案是J．

这是一个你可以用PIN在脑子里解决的问题。例如，给$a$和$b$两个小数字，然后你可以相当快地算出你的答案选项。

假设$a = 2$ b = 3$。利用这些数字，我们知道$a - b的绝对值等于1$。为什么?因为$a - b$ => $2 - 3 = -1$，并且绝对值使其中包含的任何内容都为正。(有关这方面的更多信息，请查看高级整数指南行为而且坐）

所以我们可以直接判断F是不正确的，因为F是5。这意味着G也是不正确的，因为它是-5。

H是一个虚数，因为它是负数的平方根。

J是一个负数。

只有K是有意义的，我们可以自己看到它是正确的。$-(2 - 3) = +1$，这就是我们要求的答案。

所以最终答案是K．

1）

2）

3）

4）

5)在上图中，$z = 50$。$x + y$的值是多少?

1. 90
2. 130
3. 180
4. 210
5. 230

1)在第一个问题中，我们处理的是一艘船的成本，x美元的金额，先分成3次，然后分成4次。为了简单起见，让我们为$x$选择一个可以被3和4整除的数字，这样我们就不必处理小数了。

假设买一艘船的成本(x美元)是120美元。现在，我们被问到，将成本除以4而不是除以3，人均成本会减少多少。把120同时除以，求其差值。

120/3 = 40美元

120/4 = 30美元

40 - 30 = 10美元

所以，当一艘船的价格是120美元时，当费用分成4份而不是3份时，团队中的每个成员将少支付10美元。现在让我们测试一下答案选项，看看哪一个与10美元匹配。

答:x / 12美元

120/12 = 10美元

答案A与我们得到的答案相匹配。但在我们庆祝之前，让我们看看其他的答案选项，以确保没有重复的正确答案。

选项B和C太大了。如果$x$除以12是完美的，那么这个数除以3或4会大得多。

选项E也非常庞大，而且远远大于10(因为它是$x$乘以7)，所以它也被排除了。

我们也可以最终排除选项d。我们通过将$x$的值除以12就找到了正确答案。如果我们相乘再除以，这个数字会大得多。

所以最终答案是A, x / 12美元

2)我们需要找到$m$的75%和$k$ 25的%(我们被告知是相等的)。我们不使用小数和分数(这可能会让我们感到困惑)，而是为$k$指定一个数字。

如果我们说，作为一个随机选择，k = 60，那么我们找到25的60%。

25美元* 0.6 = 15美元

我们知道这个数字(15)是$m$的75%。因此，要找到$m$，我们可以说:

${15 * 100}/75 = 20$

所以我们有:

k = 60美元

m = 20美元

现在，我们被要求找出$m/k$

20/60 = 1/3美元

所以最终答案是B, 1/3美元

3)这里，我们需要知道$t$和$t^2$之间的区别。假设$t = 3$。(为什么我们不用2表示$t$?因为，有时，用2来回答关于平方根的问题可以得到相同的正确答案。现在，我们使用3来减少需要重新开始并选择不同数字的可能性，但我们将看看如果我们在问题结束时使用2会发生什么。)

如果$t = 3$，那么$t^2 = 9$

那么，$t$和$t^2$之间的差值:

$9 - 3 = 6$

所以我们在寻找一个答案选项匹配6。

答案A、B和C都因为太小而被排除(答案C $= t = 3$)。

答案D是$t(t - 1)$

3美元美元(3 - 1)

(2) $ 3美元

6美元

答案D是正确的，但让我们看看答案E，以确保D是唯一正确的答案。答案E是$(t - 1)(t + 1)$

$(3 - 1)(3 + 1)$

(2)(4)美元

8美元

这是不匹配的，这意味着D是我们唯一可能的正确答案。

所以最终答案是D，t (t - 1)美元

(但是如果我们使用$t = 2$而不是$t = 3$会发生什么呢?$t^2 = 2^2 = 4$而$t^2$和$t$的差值是$4 - 2 = 2$。所以答案是B C和D所有是正确的。当这种情况发生时，只需选择一个不同的数字，比如$t = 3$，然后再次测试B、C和D。)

4) PIN既可用于直接代数问题，也可用于几何问题。只要我们选择的数字符合几何规则，那么我们应该总是能得到正确的答案。

我们有一个三角形，已知一个角的度数($z = 50$)我们给三角形中其他角的值。

如果$z = 50$，那么另外两个角加起来就是$180 - 50 = 130$。假设x美元旁边的角是100美元，y美元旁边的角是30美元。

如果$x$旁边的角度是100，它与$x$形成一条直线，那么$x = 180 - 100 = 80$

如果y$旁边的角是30，它和y$形成一条直线，那么y = 180 - 30 = 150

x = 80美元，y = 150美元

在一起,他们平等:

$80 + $ 150 = $ 230

所以最终答案是E, 230年。