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三角函数和弧度是SAT数学部分的新内容!你喜欢SOHCAHTOA和${π}$角测量吗?你讨厌三角函数和弧度，不知道SOHCAHTOA或${π}/{2}$是什么意思吗?不管你对SAT三角函数有什么感觉，都没有必要紧张。在这篇指南中，我将让你知道所有你需要知道的关于三角函数和弧度的SAT数学考试，并指导你通过一些练习题。

三角公式:正弦，余弦，正切

虽然三角函数可以弥补不到5%的数学题如果你不知道下面的公式，你就不能正确地回答任何三角函数问题:

找到角的正弦值已知三角形的边长。

$ $ \ sin (x) ={\(测量\ \::\ \恰恰相反:\::\ \:角)}/{\(测量\ \::\:斜边)}$ $

在上图中，标记角的正弦值为${a}/{h}$

找到角的余弦已知三角形的边长。

$ $ \ cos (x) ={\(测量\ \::\:相邻\:\::\ \:角)}/{\(测量\ \::\:斜边)}$ $

在上图中，标记角的余弦值为${b}/{h}$。

找到角的正切已知三角形的边长。

$ $ \ tan (x) ={\(测量\ \::\ \恰恰相反:\::\ \:角)}/{\(测量\ \::\:相邻\:\::\ \:角)}$ $

在上图中，标记角的正切值为${a}/{b}$。

一个有用的记忆技巧是一个缩写词:soh cah toa。

年代幸福=Opposite /Hypotenuse

Cosine =一个djacent /Hypotenuse

T各地=Opposite /一个djacent

你也应该知道互补角度的关系对于正弦和余弦，即$\sin(x°)=\cos(90°−x°)$。

如何在SAT数学中应用三角函数技能

有两种主要的三角函数问题类型你们会在考试中看到的。我会教你如何称呼每一个人。

问题1型会要求你用三角形的边长来求正弦，余弦，正切。为了回答这些问题，你需要使用图表(如果没有给你的话，这意味着要画一个图表)。让我们来看看这个例子:

三角形ABC是一个直角三角形，角B是90°;斜边是5，边AB是4。cosa是什么?

首先，使用给定的信息建立这个三角形:

然后，确定你需要的信息。在本例中，问题要求的是余弦A。根据前面的公式，我们知道$\cos(A)={\(Measure\: of\: the\: neighbor \: side\: to\: the\: angle)}/{\(Measure\: of\: the\:斜边)}$。确定你需要的部分:角，角的邻边，斜边:

我们有了所有需要的信息，所以我们只需要把它代入公式:

$ \ cos (A) ={\(测量\ \::\:相邻\:\::\ \:角)}/{\(测量\ \::\:斜边)}={4}/{5}$。

${4}/{5}$是答案。

这个问题稍微难一点可能会让你求sin A而不是cos A。如果你回头看这个图，你会发现我们不知道角A的对边是多少(这是我们求sin A所需要的)

在这种情况下，我们需要使用勾股定理(或我们对3-4-5直角三角形的知识)来求出角A (BC)的对边的长度。

公元前$ $ =√{(5 ^ 2)-(4 ^ 2)}=√{(25)-(16)}=√{9}= 3 $ $

我们知道BC是3，我们只需要把它代入公式

$ $ \罪(A) ={\(测量\ \::\ \恰恰相反:\::\ \:角)}/{\(测量\ \::\:斜边)}= {3}/ {5}$ $

问题2型会要求你用一个不同的给定角的正弦、余弦或正切来求一个角的正弦、余弦或正切。与第一类问题类似，要回答这些问题，你需要使用图表(如果没有给你的话，这意味着要画一个图表)。看看这个例子:

在直角ABC三角形中，B是直角，$\cos(a)={4}/{5}$。sin(C)是多少?

你想通过画一个图表来解决这些问题，但首先你需要弄清楚什么应该去哪里。用余弦公式来画出这个图。

$ $ \ cos (A) ={\(测量\ \::\:相邻\:\::\ \:角)}/{\(测量\ \::\:斜边)}= {4}/ {5}$ $

邻边测量(AB) = 4

斜边(AC) = 5

您可能会注意到它与上一个例子中的三角形相同。在本例中，我们想找到cos C。根据前面的公式，我们知道$\sin(C)={Measure\: of\: the\: opposite\: side\: to\: the\: angle}/{Measure\: of\: the\:斜边}$。确定你需要的部分:角，角的邻边，斜边。

$ $ \罪(C) ={\(测量\ \::\ \恰恰相反:\::\ \:角)}/{\(测量\ \::\:斜边)}= {4}/ {5}$ $

${4}/{5}$是答案。

这个问题稍微难一点可能会让你求tan C而不是sinc。如果你回头看这个图，你会发现我们不知道角C的邻边长度是多少(这是我们求tan A所需要的)。

在这种情况下，我们需要使用勾股定理(或我们对3-4-5直角三角形的知识)来求出角C (BC)的邻边的长度。

公元前$ $ =√{(5 ^ 2)-(4 ^ 2)}=√{(25)-(16)}=√{9}= 3 $ $

我们知道BC是3，我们只需要把它代入公式

$ $ \ tan (C) ={\(测量\ \::\ \恰恰相反:\::\ \:角)}/{\(测量\ \::\:相邻\:\::\ \:角)}= {4}/ {3}$ $

现在我们知道了如何应用必要的公式来解决三角问题，让我们试着将它们应用到一些实际的SAT练习题中。

SAT三角习题

示例# 1

答案的解释:三角形ABC是直角在b处的直角三角形，因此AC是直角三角形ABC的斜边，AB和BC是直角三角形ABC的腿。根据勾股定理，

$ $ AB =√(202)−(162)=√(400)−(256)=√144 = 12 $ $

因为三角形DEF类似于三角形ABC, F顶点对应C顶点，所以角F的度数等于角C的度数，因此，$\sinF=\sinC$。从三角形ABC的边长,$ \罪C ={\(测量\ \::\ \恰恰相反:\::\ \:角)}/{\(测量\ \::\:斜边)}= {\ AB} / {\ AC} ={12} /{20} ={3} /{5} $。因此,美元\ sinF ={3} /{5} $。

最后的答案是${3}/{5}$或.6。

例# 2

答案的解释:有两种方法可以解决这个问题。更快的方法是，如果你知道正弦和余弦的补角关系，即$\sin(x°)=\cos(90°−x°)$。因此，$\cos(90°−x°)={4}/{5}$或0.8。

但是，您也可以通过使用给定的信息构造一个图来解决这个问题。这是一个直角三角形(必须是sin /cos)，角x的正弦值为${4}/{5}$如果$\sin ={\(对边\:边)}/{\斜边}$则对边长4，斜边长5:

由于三角形中有两个角的度数是x°和90°，所以第三个角的度数必须是180°−90°−x°=90°−x°。从图中可以看出，$\cos(90°−x°)$等于${邻边\:side}/{the\:斜边}$，也等于${4}/{5}$或0.8。

示例# 3

答案的解释:类似于其他三角函数问题，有两种方法来解决这个问题。

更快的方法是意识到x和y是互补角(相加为90°)。然后，利用正弦和余弦的补角关系，即$\sin(x°)=\cos(90°−x°)$，你会发现$\cos(y°)=0.6$。

但是，您也可以通过使用给定的信息构造一个图来解决这个问题。这是一个直角三角形(用sin /cos必须是直角三角形)角x的正弦值是0.6。因此，x°角的对边与斜边之比为。6。

x°角对边是y°角的邻边。$ \ cos (y°)={\(\ \:一边:相邻\ \:\:y°\:角)}/{\ \:斜边)}={6}/{10}$,等于6。

答案是0.6。

弧度

弧度会只占SAT数学问题的一小部分(约5%)，但你还是想答对这些问题!弧度是比较复杂的概念之一。关于弧度测量你需要知道什么?

弧度度量的定义

基本的定义:弧度是角度的度量(就像度是角度的度量一样)。

深入/概念版:弧度是一个角度的度量，它是基于该角度与单位圆截弧的长度。我知道这听起来像胡言乱语。我来解释一下。单位圆是半径为1单位的圆。见图:

Gustavb /维基

这个单位圆的周长(或长度)为${2π}$，因为${C=2πr}$，而r=1。

如果一个角的长度是360°，弧度的长度将是${2π}$，因为360°角与单位圆上的截弧长度将是圆的整个周长(我们已经建立了${2π}$)。这里有一些很好的基本弧度测量方法需要记住:

如何在角度测量和弧度之间转换

从角度到弧度，你需要乘以${π}$，再除以180°。下面是如何将90°转换为弧度:

$ ${90°π}/{180°}$ $

$ $ ={π}/ {2}$ $

从弧度到角度，你需要乘以180°，除以${π}$。下面是如何将${π}/{4}$转换为度数:

$ ${{π}/{4}(180°)}/{π}$ $

$ $ ={({180°π}/{4}/{π}$ $

$ $ = 45°$ $

如何在基准角度度量下求三角函数值

基准角度测量值(由大学委员会定义)为0，${π}/{6}$， ${π}/{4}$， ${π}/{3}$， ${π}/{2}$弧度，分别等于角度测量值0°，30°，45°，60°和90°。

您需要能够将这些函数与上述三角函数部分中描述的三角函数(正弦、余弦和正切)一起使用。你不会被问到需要计算器的三角函数的值。

记住，正弦和余弦的补角关系，即$\sin(x°)=\cos(90°−x°)$，在转换为弧度时将为$\sin(x)=\cos({π}/{2}−x)$。

SAT弧度练习题

示例# 1

答案的解释:正确答案是6。距离公式,OA半径的长度是美元√{((√3)^ 2)+(1 ^ 2)}=√{3 + 1}=√{4}= 2美元。因此,美元\ sin(∠AOB) ={1} /{2} $。

因此∠AOB为30°，等于$30({π}/{180})={π}/{6}$ radians。因此，a的值是6。

例# 2

答案的解释:绕一个点的完全旋转是360°或${2π}$弧度。由于圆心角AOB的弧度为${5π}/{4}$，因此它表示绕点o旋转一圈的圆角$/{2π}={5}/{8}$，因此圆心角AOB构成的扇形的面积等于整个圆的面积${5}/{8}$。答案是${5}/{8}$或十进制形式。625。

示例# 3

下面哪个选项等价于$\cos({3π}/{10})$?

美元)\ cos({π}/{5})美元
B)美元\罪({7π}/{10})美元
C)美元\ sin({π}/{5})美元
D)美元\罪({π}/{5})美元

答案的解释:要正确回答这个问题，你需要同时理解三角函数和弧度。正弦和余弦通过等式$\sin(x)=\cos({π}/{2}-x)$联系起来。

为了找出$\cos({3π}/{10})$的等价值，需要将${3π}/{10}$更改为${π}/{2}-x$的形式。要做到这一点，你需要建立一个等式:

$ ${3π}/{10}={π}/ {2}- x $ $

然后，解出x。

$ ${3π}/{10}-{π}/ {2}= - x $ $

$ ${3π}/{10}-{5π}/ {10}= - x $ $

$ $ -{2π}/ {10}= - x $ $

$ ${2π}/ {10}= x $ $

$ ${π}/ {5}= x $ $

因此,美元\ cos({3π}/ {10})= \ cos({π}/{2}-{π}/ {5})= \ sin({π}/{5})美元。D是正确答案。

SAT三角函数考试!

练习# 1

在三角形DCE中，角C的度数为90°，$\DC=5$， $\CE=12$。$\sin(D)$的值是多少?

练习# 2

在直角三角形中，$\cos({π}/{2}-x)={6}/{8}$。\ sin (x)美元是什么?

练习# 3

在圆O中，圆心角AOB的值为${3π}/{4}$弧度。圆心角AOB形成的扇形的面积是圆面积的多少?

答案:1: ${12}/{13}$， 2: ${6}/{8}$， 3) ${3}/{8}$

接下来是什么?

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